傅立葉轉換到底在轉換什麼?

一陣子沒寫文章，原本週五晚上想寫一下的。一方面是因為手邊還有東西在做，二來是有點懶....　今天想說，不行！就算瞎扯淡也好，反正就是得寫點東西～

　　之前在社群中有看到一篇嘗試不用數學來說明傅立葉轉換的文章(很長....)，雖然我是覺得加上數學會更好說明，不過，我也試著不要使用數學好了。我接下來想說的，其實比較帶有哲學意味，而不是什麼理論哦....  有些看法是純個人的見解，認不認同在各位囉～

前提

這裡，我先假設大家都已經接受了以下的觀念：
1. 世界上所有的訊號，都是由不同頻率的弦波所組成
2. 弦波是訊號的基本組成元素，不管它是正弦或餘弦

註：這裡的「訊號」指的是隨時間變化且可定量的東西，例如聲音、電磁波。而不是感性上「暗示」的那種訊號....例如：「她的眼神含情脈脈！這是一種暗示嗎？那個妹是不是在剛剛跟我對上眼的瞬間，就愛上我了！」為了簡單起見，我們可以把這裡的訊號，都當成「電訊號」來看待。

傅立葉轉換

學過傅立葉轉換之後，我們心中大概就知道一件事：「哦！傅立葉轉換就是要將一個時域訊號，轉換到頻域上去。不管這個訊號是以時域的方式表現(波形, waveform)，還是以頻域的方式表現出來(頻譜, spectrum)，指的都是同一個訊號！」

某生A：「老師！~~~~~~~  我知道了！」
我：「你知道什麼？！」
某生A：「轉換嘛！就好像食物被我吃進去，經過我身體把它"轉換"之後，變成坨屎！這意思就是，食物就是屎，屎就是食物！一樣的東西！」

我：「那你吃屎嗎？」
某生A：「恩！我吃！」
我：「哇～靠！！！真的假的！」
某生A：「吃過啊！鼻屎....」

我：「喂.....　這裡講的不是那種"轉換"啦！」 (身體是一個系統，對訊號有轉移、轉變的作用)

傅立葉轉換到底轉換了什麼？

它轉換了你看待它的觀點，而訊號本身並沒有被改變。因此，傅立葉轉換，是在轉換我們對訊號的「度量觀點」。

某生A：「哦！我知道啊！時域轉成頻域嘛.... 反轉換，就是頻域轉回時域....」
某生B：「恩....　所以到底是轉換了什麼？」

度量觀點轉換，讓我們更了解訊號的內涵

歐姆曾說過：「人的耳朵就是最好的傅立葉分析器。」　是的，這個歐姆，就是 V=IR 的那個歐姆。

註：這句話我不曉得從哪裡讀到的，剛剛上網查沒找到。還是從哪本書看來的，我也忘了。

　　我認為歐姆講的實在太好了！

　　聲音是一個大家討論傅立葉轉換時，很常用的例子。假設，聞男生尖叫跟女生尖叫，通常我們可以很容易判斷哪個是男聲、哪個是女聲。因為男生都叫「啊～～」，女生都叫「伊呀～」.....　喂～～不是好嘛！是因為男生的音調低，女生的音調高。更精確地說，女聲帶有的高頻成分比男生較多(也大)啦！

　　假設我們用麥克風把男聲跟女聲轉成電訊號來觀察。如果我像下面丟給你兩張聲音的時域波形，然後請你說出哪一張是男聲、哪一張是女聲，你大概只能瞎猜一通：

註：波形上振幅的大小代表聲音的音量大小。(迷之音：「你是在大聲什麼啦~~」

　　可是經過你的耳朵分析後，你可以很容易辨別哪個是女聲、哪個是男聲。以下是傅立葉轉換，聲音波形在頻譜上看到的結果。男聲低頻成分比較大，女聲高頻成分比男聲豐富：(男生聲音檔 / 女生聲音檔)

傅立葉分析是一種哲學

什麼哲學呢？「格物致知」嗎....　傅立葉分析，比王陽明用眼神想格斃竹子厲害啊....(開玩笑啦~)，以下來說說我的看法：

　　我們雖然藉由傅立葉轉換，將觀點切換到了頻域上面去，但傅立葉分析的本質是時間的流動。用比較哲學的說法是，傅立葉分析讓我們找出一個在時間上流動的訊號，它的內涵是什麼。這裡說的內涵，同時包括了「內容」，以及該內容的「意義」。所以，傅立葉分析讓我們找出內容的意義。

註：這裡並不是說單從時域訊號，就不能得到"意義"，因為意義其實是人賦予的。旨在說明，凡事不能只看一面。

　　這樣的分析，在生活中很常見。我假設一個很爛的例子，例如我這中老年人代謝不佳的身體，我的體重起伏大概是這樣的：
1. 約每一個禮拜，體重都會出現一個小 peak，都發生在週末
2. 夏季的體重比冬季體重低，而且這數十年來都這樣

• 上面第一點，經分析，因為我到周末就比較放肆，喝啤酒、吃雞排，所以體重都會稍微增加一點，到了禮拜一，把屎全拉光，體重就下降下來！哈哈~
• 上面第二點，經分析，因為冬天一到我就準備冬眠.... 脂肪增加是自然驅動的！不能怪我！

註：數據分析並不總是在找週期性，也可能是在找某些事件跟某些變數的關係，或更有甚深者。此處的例子僅是為了要凸顯找尋「意義」這件事情而已。

你發現什麼

• 第一點，如果你的量測不足一個禮拜，你根本不可能知道「以每個禮拜為周期」的特徵
• 第二點，如果你的量測不足一年，你根本不可能知道「以每年為週期」的特徵

　　用 E. E. 的立場來說，如果今天我拿到一段時域波形，我想要知道這段波形是否帶有頻率 1kHz 的成分存在：

• 1 kHz 的弦波，週期為 1 ms
• 如果你今天拿到的那段波形，時間總長度不足 1ms，你根本度量不到 1 kHz 的弦波波形(不完整)
• 反過來說，如果已知某個隨時間流動的訊號，可能帶有 1 kHz 的頻率成分，那麼我們的觀測時間長度就至少需要 1 ms (註: 如果可以觀測 2 倍的時間長 = 2 ms 就能更加確定波形的重複性) 

傅立葉分析 － 形而上的觀點

• 假如時間靜止了，甚麼東西都不活動，那生活的意義是否還存在？
• 假如現在的我，不是由過去的我所造成的，那麼我是什麼？
• 這瞬間，就在這一秒當下的我，是完整的我嗎？
• 回顧過去的某段時期，對我的影響？
• 如果一句話，我只聽一個字，我怎麼會知道那句話是什麼意思。
• 數據不流動，就無法傳遞。
• 數據經過特定的排序，就有機會找出它的內涵。排序正是一種流動。
• 傅立葉分析就是一種自省、認識自我的過程
• ....  歡迎補充....

傅立葉分析的應用

• 濾波
• 某一受干擾的訊號波形，我想濾波，把干擾拿掉。沒有傅立葉分析，多數情況你幾乎不知道應該要濾掉什麼(頻率成分)，因此濾波器設計連起頭都有困難
• 混頻
• 將某訊號頻率成分移動到某個頻率，例如男聲經過混頻處理後，變成女聲
• 等化器
• 不管是多媒體還是訊號，透過等化器就能調整訊號的內容。內容就是不同頻率成分的大小、相位等等，不同頻率也可以想成色彩的紅綠藍 R, G, B 通道
• 調整相位也就是調整訊號延遲或超前，我們可讓一段頻寬內的頻率成分都具有相同延遲(相位隨頻率的變化是線性的)，我們就會說那段頻寬內的"群延遲"固定
• 有些系統的群延遲隨頻率變化可能不固定，因此訊號經過此系統會造成失真，就可透過等化器來校正(設計某種頻率響應來補正，用濾波器也行)
• 線性度、失真度的定量
• 這個有機會再說，不然還要扯一堆....
• 等等等....　但總體來說，調整頻率成分就是等化器的功能，端視你的"應用"到底需要什麼而已... 但等化器通常比較 generic，為你的特定應用所設計的頻率成分調整器，就是濾波器(濾波器其實也是很廣義呢!)

小叮嚀

　　有些人會在談「頻譜」或「頻率響應」的時候說：「這上面的波形，如何如何....」

在此提醒，波形這兩個字還是留給時域使用吧！因為在 E. E. 領域講的"波"形，通常都是指隨時間流動的東西。例如：示波器上顯示的波形....

　　在談頻域時，還是用「譜」或「響應」來描述比較恰當，例如：這張譜上某某頻率的成分過大、從它的頻率響應可以看到低通的效果不好。

後記

　　在 E. E. 領域打滾多年，凡事無不與"訊號"與"系統"有關，而傅立葉分析的觀念是根。每次只要遇到要處理訊號的問題時，我就發現傅立葉的靈，一直在我背後。(有鬼啊～塊陶～)

　　我很喜歡傅立葉分析，我不是因為計算上的關係而喜歡它；我喜歡它是因為，多年來，不管是工作上、還是人生上，它帶給了我很多很多的啟發....。至今，它仍一直持續影響著我。
　
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